Pontos e rectas notáveis de um triângulo
seguindo Puig Adam; Geometria Métrica, vol I - Fundamentos

Circunferência circunscrita. Circuncentro.
Três pontos A, B e C não alinhados (não colineares) determinam uma circunferência.que passa por eles e cujo centro O é o ponto de intersecção das mediatrizes dos segmentos [AB], [BC] e [AC]. O Cinderella permite, no modo definição, desenhar imediatamente essa circunferência com ferramenta apropriada e a selecção dos 3 pontos. E, determinada a circunferência, ainda do mesmo modo, o Cinderella permite a determinação do seu centro a partir da sua selecção.
Os exercícios que podem fazer-se com o conceito são vários e com grande interesse geométrico. O Cinderella permite o desenho das mediatrizes com as ferramentas convencionais e a verificação de que a terceira mediatriz passa pelo ponto comum às duas anteriores, bem como verificar que B e C estão sobre a traçada circunferência de centro em O passando por A.
Na figura abaixo pode mover os pontos A, B ou C e fazer verificações.

Ortocentro
As paralelas aos lados de um triângulo [ABC] que passam pelos vértices opostos, formam um triângulo [A'B'C'] em que |A'B'|=2|AB|, |A'C'|=2|AC| e |B'C'|=2|BC| e em que A, B e C são os pontos médios de [B'C'], [A'C'] e [A'B'] respectivamente.
(Demonstre-se.)
Como consequência, as alturas do triângulo [ABC] são as mediatrizes de [A'B'C']. As três alturas de um triângulo (que são afinal mediatrizes de um outro triângulo) cortam-se num ponto H. H é o ortocentro do triângulo [ABC] e o circuncentro de [A'B'C'].
O Cinderella permite fazer todas estas construções com ferramentas semelhantes às clássicas (régua e compasso) e permite fazer várias verificações.
É claro que pode e deve mover os vértices do triângulo para ver que o resultado não depende de qualquer triângulo em particular.

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Um lugar geométrico interessante (ortocentro)
Quando um vértice (C, no caso da figura) de um triângulo [ABC] se desloca sobre uma paralela ao lado oposto (AB), o ortocentro H descreve uma parábola.
Um exercício interessante consiste em determinar uma equação em (x,y) para a parábola descrita por H, para um sistema de eixos previamente escolhido.

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Um resultado de invariância de áreas de triângulos
Quando um vértice (C, no caso da figura) de um triângulo [ABC] se desloca livermente sobre uma paralela ao lado oposto AB, a área do triângulo permanece constante. (Porquê)

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Circunferência inscrita. Incentro.
As bissectrizes dos ângulos internos de um triângulo [ABC] intersectam-se num ponto I (incentro) que é o centro de uma circunferência tangente aos três lados do triângulo. O Cinderella permite verificar que a terceira bissectriz passa pelo ponto de interesecção de duas delas. Pode demonstrar? A circunferência inscrita é única. (Porquê?)
É claro que pode e deve mover os vértices do triângulo para ver que o resultado não depende de qualquer triângulo em particular.

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Circunferências exinscritas.Exincentros.
O ponto I, incentro de um triângulo [ABC], é o único ponto interior que é equidistante dos lados do triângulo. Mas há pontos exteriores com a mesma propriedade do incentro. Chamamos-lhes exincentros. Basta pensar nas intersecções das bissectrizes exteriores dos ângulos do triângulo. Aliás pelo ponto de encontro das bissectrizes exteriores de A e C também passa a bissectriz interior de B. (Pode provar que as bissectrizes exteriores de A e C se intersectam e que a bissectriz exterior de A é perpendicular à bissectriz interior de A, ou que as bissectrizes interiores de [ABC] contêm as alturas de [LMN]).
É claro que pode e deve mover os vértices do triângulo para ver que o resultado não depende de qualquer triângulo em particular.

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Triângulo órtico
Podemos pensar num resultado recíproco do que foi estabelecido sobre bissectrizes e alturas para o triângulo cujos vértices são os exincentros. De facto, as alturas de um triângulo acutângulo [ABC] são bissectrizes interiores do triângulo [H'H''H'''], cujos vértices são os pés das suas alturas. (Pode demonstrar esse resultado) A este triângulo chamamos triângulo órtico. A figura abaixo representa a construção de um órtico. E é evidentemente verdade que os lados de um triângulo acutângulo são as bissectrizes exteriores do seu triângulo órtico.(Porquê?)
É claro que pode e deve mover os vértices do triângulo para ver que o resultado não depende de qualquer triângulo acutângulo em particular.
Pode também ver o que acontece quando o triângulo não é acutângulo. Se o triângulo é obtusângulo, uma das alturas é bissectriz interior e as outras duas são bissectrizes exteriores do triângulo órtico respectivo. Os lados do triângulo estão nas restantes bissectrizes do órtico. E como é claro, um triângulo rectângulo não tem triângulo órtico. (Justifique a veracidade destas afirmações.)

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Seis pontos notáveis da circunferância circunscrita.
A circunferência circunscrita a um triângulo [ABC] contém o ponto de intersecção da mediatriz de cada lado com a bissectriz que passa pelo vértice oposto. (Demonstre!)
O resultado pode ser enunciado de outra forma:
A circunferência circunscrita a um triângulo contém os pontos médios dos lados do triângulo dos exincentros, assim como os pontos médios dos segmentos que unem estes com o incentro São esses os 6 pontos notáveis da circunferência circunscrita.
As construções abaixo sugerem bem esses resultados. Pode mover os vértices do triângulo de partida para verificar que os resultados não dependem de qualquer triângulo em particular.

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Circunferência dos nove pontos ( de Feuerbach ou de Euler)
A circunferência que passa pelos pés das alturas de um triângulo não rectângulo contém os pontos médios dos seus lados, assim como contém os pontos médios dos segmentos de altura compreendidos entre cada vértice e o ortocentro.
Pode provar esses resultados e pode experimentar o triângulo rectângulo para ver o que se passa.
Não deve deixar de deslocar os vértices do triângulo para verificar que o resultado não depende de qualquer triângulo em particular.

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Baricentro de um triângulo
As três medianas de um triângulo [ABC] intersectam-se num ponto G que toma o nome de baricentro do triângulo. E o segmento de cada mediana compreendido entre o seu pé e o baricentro mede a terça parte da mediana. Pode provar estes resultados.
As construções abaixo sugerem bem esses resultados e sugerem mesmo que para os pontos médios de [BG] e [CG], respectivamente P e Q, PQ//BC (o que ajuda muito a provar a veracidade da segunda afirmação).
Pode mover os vértices do triângulo de partida para verificar que os resultados não dependem de qualquer triângulo em particular.

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Um lugar geométrico (para o baricentro)
Atendendo aos resultados afirmados para o baricentro, quando um vértice A do triângulo [ABC] se desloca sobre uma paralela p ao seu lado oposto BC, o baricentro deve descrever uma recta ainda paralela a BC. Porquê?
Pode escolher um referencial Oxy e determinar a equação em (x,y) desse lugar geométrico, confirmando a sua conjectura.
Pode mover os vértices do triângulo de partida para verificar que os resultados não dependem de qualquer triângulo em particular.

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Recta de Euler
Euler demonstrou que, num triângulo [ABC] qualquer, são colineares três dos seus pontos notáveis, a saber: o baricentro G, o circuncentro O e o ortocentro H. A recta que passa por esses três pontos toma o nome de recta de Euler.
Euler provou ainda que |GH|=2|GO|. O grande desafio é provar esses resultados que a figura abaixo bem sugere.
Pode mover os vértices do triângulo de partida para verificar que os resultados não dependem de qualquer triângulo em particular.

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Recta de Simson
Há uma propriedade da circunferência circunscrita muito interessante e curiosa que passamos a introduzir e de que propomos a sua demonstração como exercício.
Se por um ponto P de uma circunferência circunscrita a um triângulo [ABC], passarmos perpendiculares aos lados do triângulo, estas intersectam os três lados em três pontos que são colineares. A linha recta que passa por esses três pontos toma o nome de recta de Simson.
A figura abaixo é bem sugestiva da construção que se faz e do resultado. Pode deslcoar os vértices do triângulo ou o ponto P sobre a circunferência para confirmar que o resultado não depende do triângulo nem de um particular ponto P (O resultado de Simson aplica-se para pontos P distintos dos vértices. Porque é que o resultado não é interessante quando P coincide com um dos vértices?)

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Mais exercícios propostos (por Puig Adam)
1. Demonstrar que as paralelas a dois lados de um triângulo que passem pelo baricentro dividem o terceiro lado em três partes iguais.
2.Demonstrar que a recta que une o vértice A de um triângulo [ABC] com o incentro I corta a circunferência circunscrita num ponto P equidistante de B, de I e de C.
3. Em que circunstâncias é que os quatro lados de um quadrilátero determinam dois a dois quatro triângulos dos quais as circunferências circunscritas passam por um mesmo ponto M? Enunciar e demonstrar o resultado.
4. Demonstrar que os circuncentros dos quatro triângulos em que um quadrilátero convexo fica dividido pelas suas diagonais são vértices de um paralelogramo.
5. Construir um triângulo de que se conhece um lado e duas medianas
6. Demonstrar que o triângulo dos exincentros é sempre acutângulo.
7. Demonstrar que a recta de Simson relativa ao ponto P está a igual distância de P e do ortocentro H.
8. Construir um triângulo de que se conhece os pontos médios dos seus lados. E um pentágono? E um heptágono? O que se passa se o polígono tiver um número par de lados?